Вывод теоремы о кинетической энергии. Конспект урока "Кинетическая энергия

Теорема о кинетической энергии точки в дифференциальной форме

Умножая скалярно обе части уравнения движения материальной точки на элементарное перемещение точки получим

или, так как , то

Скалярная величина или половина произведения массы точки на квадрат ее скорости называется кинетической энергией точки или живой силой точки.

Последнее равенство составляет содержание теоремы о кинетической энергии точки в дифференциальной форме, которая гласит: дифференциал кинетической энергии точки равен элеменарной работе, действующей на точку силы.

Физический смысл теоремы о кинетической энергии заключается в том, что работа, производимая действующей на точку силой, накапливается в ней как кинетическая энергия движения.

Теорема о кинетической энергии точки в интегральной форме

Пусть точка переместилась из положения Л в положение В, пройдя по своей траектории конечную дугу АВ (рис. 113). Интегрируя в пределах от Л до Б равенство:

где соответственно скорости точки в положениях А и В.

Последнее равенство составляет содержание теоремы о кинетической энергии точки в интегральной форме, которая гласит: изменение кинетической энергии точки за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной за то же время действующей на нее силой.

Полученная теорема справедлива при движении точки под действием любой силы. Однако, как указывалось, для вычисления полной работы силы нужно в общем случае знать уравнения движения точки.

Поэтому теорема о кинетической энергии, вообще говоря, не дает первого интеграла уравнений движения.

Интеграл энергии

Теорема о кинетической энергии дает первый интеграл урав нений движения точки, если полная работа силы может быть определена, не прибегая к уравнениям движения. Последнее, возможно, как ранее указывалось, если сила, действующая на точку, принадлежит к силовому полю. В этом случае достаточно знать только траекторию точки. Пусть траектория точки будет некоторая кривая, тогда координаты ее точек можно выразить через дугу траектории, и, следовательно, сила зависящая от координат точки, может быть выражена через

и теорема о кинетической энергии дает первый интеграл вида

где - дуги траектории, соответствующие точкам А и - проекция силы на касательную к траектории (рис. 113).

Потенциальная энергия и закон сохранения механической энергии точки

Особый интерес представляет движение точки в потенциальном поле, так как теорема о кинетической энергии дает при этом весьма важный интеграл уравнений движения.

В потенциальном поле полная работа силы равна разности значений силовой функции в конце и в начале пути:

Следовательно, теорема о кинетической энергии в этом случае записывается в виде:

Силовая функция, взятая с обратным знаком называется потенциальной энергией точки и обозначается буквой П:

Потенциальная энергия, так же как и силовая функция, задается с точностью до произвольной постоянной, значение которой определяется выбором нулевой поверхности уровня. Сумма кинетической и потенциальной энергии точки называется полной механической энергией точки.

Теорема о кинетической энергии точки, если сила принадлежит к потенциальному полю, записывается в виде:

где - значения потенциальной энергии, соответствующие точкам А и В. Полученное уравнение составляет содержание закона сохранения механической энергии для точки, который гласит: при движении в потенциальном поле сумма кинетической и потенциальной энергии точки остается постоянной.

Так как закон сохранения механической энергии справедлив только для сил, принадлежащих потенциальным полям, то силы такого поля называются консервативными (от латинского глагола conservare - сохранять), чем подчеркивается выполнение в этом случае сформулированного закона. Заметим, что если понятие кинетической энергии имеет в своем определении известные физические основания, то понятие потенциальной энергии этого лишено. Понятие потенциальной энергии в известном смысле является фиктивной величиной, которая определяется так, что изменения ее значения в точности соответствуют изменениям кинетической энергии. Введение этой величины, связанной с движением, помогает описанию движения и благодаря этому играет существенную роль в так называемом энергетическом описании движения, разрабатываемый аналитической механикой. В последнем и заключается смысл введения этой величины.

Работа равнодействующей всех сил , приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела.

Эта теорема верна не только для поступательного движения твердого тела, но и в случае его произвольного движения.

Кинетической энергией обладают только движущиеся тела, поэтому ее называют энергией движения.

§ 8. Консервативные (потенциальные) силы.

Поле консервативных сил

Опр.

Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалось тело, а определяется только начальным и конечным положениями тела, называются консервативными (потенциальными) силами.

Опр.

Поле сил – область пространства, в каждой точке которого на тело, помещенное туда, действует сила, закономерно меняющаяся от точки к точке пространства.

Опр.

Поле, не изменяющееся со временем, называется стационарным.

Можно доказать следующие 3 утверждения

1) Работа консервативных сил по любому замкнутому пути равна 0.

Доказательство:

2) Однородное поле сил консервативно.

Опр.

Поле называется однородным, если во всех точках поля силы, действующие на тело помещенное туда, одинаковы по модулю и направлению.

Доказательство:

3) Поле центральных сил, в котором величина силы зависит только от расстояния до центра, консервативно.

Опр.

Поле центральных сил – силовое поле, в каждой точке которого на точечное тело, движущееся в нем, действует сила, направленная вдоль линии, проходящей через одну и ту же неподвижную точку – центр поля.

В общем случае такое поле центральных сил не является консервативным. Если же в поле центральных сил величина силы зависит только от расстояния до центра силового поля (О), т.е. , то такое поле является консервативным (потенциальным).

Доказательство:

где - первообразная .

§ 9. Потенциальная энергия.

Связь силы и потенциальной энергии

в поле консервативных сил

Полем консервативных сил выберем начало координат, т.О.

Потенциальная энергия тела в поле консервативных сил. Эта функция определяется однозначно (зависит только от координат), т.к. работа консервативных сил не зависит от вида пути.

Найдем связь в поле консервативных сил при перемещении тела из точки 1 в точку 2.

Работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии с обратным знаком.

Потенциальная энергия тела поля консервативных сил есть энергия, обусловленная наличием силового поля, возникающего в результате определенного взаимодействия данного тела с внешним телом (телами), которое, как говорят, и создает силовое поле.

Потенциальная энергия поля консервативных сил характеризует способность тела совершить работу и численно равна работе консервативных сил по перемещению тела в начало координат (или в точку с нулевой энергией). Она зависит от выбора нулевого уровня и может быть отрицательной. В любом случае , а значит и для элементарной работы справедливо , т.е. или , где - проекция силы на направление движения или элементарное перемещение. Следовательно, . Т.к. мы можем перемещать тело в любом направлении, то для любого направления справедливо . Проекция консервативной силы на произвольное направление равна производной потенциальной энергии по этому направлению с обратным знаком.

Учитывая разложение векторов и по базису , , получим, что

С другой стороны из математического анализа известно, что полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных по аргументам на дифференциалы аргументов, т.е. , а значит, из соотношения получим

Для более компактной записи данных соотношений можно использовать понятие градиента функции.

Опр.

Градиентом некоторой скалярной функции координат называется вектор с координатами, равными соответствующим частным производным этой функции.

В нашем случае

Опр.

Эквипотенциальной поверхностью называется геометрическое место точек в поле консервативных сил, значения потенциальной энергии в которых одинаковы, т.е. .

Т.к. из определения эквипотенциальной поверхности следует, что для точек этой поверхности, то , как производная константы, следовательно .

Таким образом, консервативная сила всегда перпендикулярна эквипотенциальной поверхности и направлена в строну убыли потенциальной энергии. (П 1 >П 2 >П 3).

§ 10. Потенциальная энергия взаимодействия.

Консервативные механические системы

Рассмотрим систему их двух взаимодействующих частиц. Пусть силы их взаимодействия центральные и величина силы зависит от расстояния между частицами (такими силами являются гравитационные и электрические кулоновские силы). Понятно, что силы взаимодействия двух частиц – внутренние.

Учитывая третий закон Ньютона (), получим , т.е. работа внутренних сил взаимодействия двух частиц определяется изменением расстояния между ними.

Такая же работа была бы совершена, если бы первая частица покоилась в начале координат, а вторая – получила перемещение , равное приращению ее радиус-вектора, т.е работу, совершаемую внутренними силами можно вычислять, считая одну частицу неподвижной, а вторую – движущейся в поле центральных сил, величина которых однозначно определяется расстоянием между частицами. В §8 мы доказали, что поле таких сил (т.е. поле центральных сил, в котором величина силы зависит только от расстояния до центра) консервативно, а значит, их работу можно рассматривать как убыль потенциальной энергии (определяемой, согласно §9, для поля консервативных сил).

В рассматриваемом случае эта энергия обусловлена взаимодействием двух частиц, составляющих замкнутую систему. Ее именуют потенциальной энергией взаимодействия (или взаимной потенциальной энергией). Она также зависит от выбора нулевого уровня и может быть отрицательной.

Опр.

Механическая система твердых тел, внутренние силы между которыми консервативны, называется консервативной механической системой.

Можно показать, что потенциальная энергия взаимодействия консервативной системы из N частиц слагается из потенциальных энергий взаимодействия частиц, взятых попарно, что можно представить.

Где - потенциальная энергия взаимодействия двух частиц i-ой и j-ой. Индексы i и j в сумме принимают независимые друг от друга значения 1,2,3, … , N. Учитывая, что одна и та же потенциальная энергия взаимодействия i-ой и j-ой частиц друг с другом, то при суммировании энергия будет умножаться на 2, вследствие чего появляется коэффициент перед суммой. В общем случае потенциальная энергия взаимодействия системы из N частиц будет зависеть от положения или координат всех частиц . Нетрудно видеть, что потенциальная энергия частицы в поле консервативных сил есть разновидность потенциальной энергии взаимодействия системы частиц, т.к. силовое поле есть результат некоторого взаимодействия тел друг с другом.

§ 11. Закон сохранения энергии в механике.

Пусть твердое тело движется поступательно под действием консервативных и неконсервативных сил, т.е. общий случай. Тогда равнодействующая всех сил, действующих на тело . Работа равнодействующей всех сил в этом случае .

По теореме о кинетической энергии , а также учитывая, что , получим

Полная механическая энергия тела

Если , то . Это и есть математическая запись закона сохранения энергии в механике для отдельного тела.

Формулировка закона сохранения энергии:

Полная механическая энергия тела не изменяется в отсутствии работы неконсервативных сил.

Для механической системы из N частиц нетрудно показать, что (*) имеет место.

При этом

Первая сумма здесь – суммарная кинетическая энергия системы частиц.

Вторая – суммарная потенциальная энергия частиц во внешнем поле консервативных сил

Третья – потенциальная энергия взаимодействия частиц системы друг с другом.

Вторая и третья суммы представляют собой полную потенциальную энергию системы.

Работа неконсервативных сил состоит из двух слагаемых, представляемых собой работу внутренних и внешних неконсервативных сил .

Также как и в случае движения отдельного тела, для механической системы из N тел, если , то , и закон сохранения энергии в общем случае для механической системы гласит:

Полная механическая энергия системы частиц, находящихся только под действием консервативных сил, сохраняется.

Таким образом, при наличии неконсервативных сил полная механическая энергия не сохраняется.

Неконсервативными силами являются, например, сила трения , сила сопротивления и другие силы, действия которых вызывают дессинацию энергии (переход механической энергии в теплоту).

Силы, приводящие к дессинации называются дессинативными. Некоторые силы не обязательно являются дессинативными.

Закон сохранения энергии имеет всеобщий характер и применим не только к механическим явлениям, но и ко всем процессам в природе. Полное количество энергии в изолированной системе тел и полей всегда остается постоянным. Энергия лишь может переходить из одной формы в другую.

С учетом этого равенства

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Кинетическая энергия материальной точки выражается половиной произведения массы этой точки на квадрат ее скорости.

Теорему о кинетической энергии материальной точки можно выразить в трех видах:

т. е. дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на эту точку;

т. е. производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна мощности силы, действующей на эту точку:

т. е. изменение кинетической энергии материальной точки на конечном пути равно работе силы, действующей на точку на том же пути.

Таблица 17. Классификация задач

Если на точку действует несколько сил, то в правые частя уравнений входит работа или мощность равнодействующей этих сил, которая равна сумме работ или мощностей всех составляющих сил.

В случае прямолинейного движения точки, направляя ось по прямой, по которой движется точка, имеем:

где , так как в этом случае равнодействующая всех приложенных к точке сил направлена по оси х.

Применяя теорему о кинетической энергии в случае несвободного движения материальной точки, нужно иметь в виду следующее: если на точку наложена совершенная стационарная связь (точка движется по абсолютно гладкой неподвижной поверхности или линии), то реакция связи в уравнения не входит, ибо эта реакция направлена по нормали к траектории точки и, следовательно, ее работа равна нулю. Если же приходится учитывать трение, то в уравнение кинетической энергии войдет работа или мощность силы трения.

Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить на два основных типа.

I. Задачи на применение теоремы о кинетической энергии при прямолинейном движении точки.

II. Задачи на применение теоремы о кинетической энергии при криволинейном движении точки.

Кроме того, задачи, относящиеся к типу I, можно разделить на три группы:

1) сила, действующая на точку (или равнодействующая нескольких сил), постоянна, т. е. , где X - проекция силы (или равнодействующей) на ось , направленную по прямолинейной траектории точки;

2) сила, действующая на точку (или равнодействующая), является функцией расстояния (абсциссы этой точки), т. е.

3) сила, действующая на точку (или равнодействующая), есть функция скорости этой точки, т. е.

Задачи, относящиеся к типу II, можно разделить на три группы:

1) сила, действующая на точку (или равнодействующая), постоянна и по модулю и по направлению (например, сила веса);

2) сила, действующая на точку (или равнодействующая), есть функция положения этой точки (функция координат точки);

3) движение точки при наличии сил сопротивления.

Темы кодификатора ЕГЭ: работа силы, мощность, кинетическая энергия, потенциальная энергия, закон сохранения механической энергии.

Мы приступаем к изучению энергии - фундаментального физического понятия. Но предварительно нужно разобраться с другой физической величиной - работой силы.

Работа.

Пусть на тело действует постоянная сила и тело, двигаясь прямолинейно по горизонтальной поерхности, совершило перемещение . Сила не обязательно является непосредственной причиной перемещения (так, сила тяжести не является непосредственной причиной перемещения шкафа, который передвигают по комнате).

Предположим сначала, что векторы силы и перемещения сонаправлены (рис. 1 ; остальные силы, действующие на тело, не указаны)

Рис. 1.A=Fs

В этом простейшем случае работа определяется как произведение модуля силы на модуль перемещения:

. (1)

Единицей измерения работы служит джоуль (Дж): Дж=Н м. Таким образом, если под действием силы 1 Н тело перемещается на 1 м, то сила совершает работу 1 Дж.

Работа силы, перпендикулярной перемещению, по определению считается равной нулю. Так, в данном случае сила тяжести и сила реакции опоры не совершают работы.

Пусть теперь вектор силы образует с вектором перемещения острый угол (рис. 2 ).

Рис. 2. A=Fs cos

Разложим силу на две составляющие: (параллельную перемещению) и (перпендикулярную перемещению). Работу совершает только . Поэтому для работы силы получаем:

. (2)

Если вектор силы образует с вектором перемещения тупой угол , то работа по-прежнему определяется формулой (2) . В этом случае работа оказывается отрицательной.

Например, работа силы трения скольжения, действующей на тело в рассмотренных ситуациях, будет отрицательной, так как сила трения направлена противоположно перемещению. В этом случае имеем:

И для работы силы трения получаем:

где - масса тела, - коэффициент трения между телом и опорой.

Соотношение (2) означает, что работа является скалярным произведением векторов силы и перемещения:

Это позволяет вычислять работу через координаты данных векторов:

Пусть на тело действуют несколько сил и - равнодействующая этих сил. Для работы силы имеем:

где - работы сил . Итак, работа равнодействующей приложенных к телу сил равна сумме работ каждой силы в отдельности.

Мощность.

Часто имеет значение быстрота, с которой совершается работа. Скажем, на практике важно знать, какую работу сможет выполнить данное устройство за фиксированное время.

Мощность - это величина, характеризующая скорость совершения работы. Мощность есть отношение работы ко времени , за которое эта работа совершена:

Мощность измеряется в ваттах (Вт). 1 Вт = 1 Дж/с, то есть 1 Вт - это такая мощность, при которой работа в 1 Дж совершается за 1 с.

Предположим, что силы, действующие на тело, уравновешены, и тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью . В этом случае существует полезная формула для мощности, развиваемой одной из действующих сил .

За время тело совершит перемещение . Работа силы будет равна:

Отсюда получаем мощность:

где -угол между векторами силы и скорости.

Наиболее часто эта формула используется в ситуации, когда - сила "тяги" двигателя автомобиля (которая на самом деле есть сила трения ведущих колёс о дорогу). В этом случае , и мы получаем просто:

Механическая энергия.

Энергия является мерой движения и взаимодействия любых объектов в природе. Имеются различные формы энергии: механическая, тепловая, электромагнитная, ядерная. . .

Опыт показывает, что энергия не появляется ниоткуда и не исчезает бесследно, она лишь переходит из одной формы в другую. Это самая общая формулировка закона сохранения энергии .

Каждый вид энергии представляет собой некоторое математическое выражение. Закон сохранения энергии означает, что в каждом явлении природы определённая сумма таких выражений остаётся постоянной с течением времени.

Измеряется энергия в джоулях, как и работа.

Механическая энергия является мерой движения и взаимодействия механических объектов (материальных точек, твёрдых тел).

Мерой движения тела является кинетическая энергия . Она зависит от скорости тела. Мерой взаимодействия тел является потенциальная энергия. Она зависит от взаимного расположения тел.

Механическая энергия системы тел равна сумме кинетической энергии тел и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.

Кинетическая энергия.

Кинетической энергией тела (принимаемого за материальную точку) называется величина

где - масса тела, - его скорость.

Кинетической энергией системы из тел называется сумма кинетических энергий каждого тела:

Если тело движется под действием силы , то кинетическая энергия тела, вообще говоря, меняется со временем. Оказывается, именение кинетической энергии тела за некоторый промежуток времени равно работе силы . Покажем это для случая прямолинейного равноускоренного движения.

Пусть - начальная скорость, - конечная скорость тела. Выберем ось вдоль траектории тела (и, соответственно, вдоль вектора силы ). Для работы силы получаем:

(мы воспользовались формулой для , выведенной в статье "Равноускоренное движение"). Заметим теперь, что в данном случае проекция скорости отличается от модуля скорости разве что знаком; поэтому и . В результате имеем:

что и требовалось.

На самом деле соотношение справедливо и в самом общем случае криволинейного движения под действием переменной силы.

Теорема о кинетической энергии. Изменение кинетической энергии тела равно работе, совершённой приложенными к телу внешними силами за рассматриваемый промежуток времени.

Если работа внешних сил положительна, то кинетическая энергия увеличивается ( class="tex" alt="\Delta K>0">, тело разгоняется).

Если работа внешних сил отрицательна, то кинетическая энергия уменьшается (, тело замедляет движение). Пример - торможение под действием силы трения, работа которой отрицательна.

Если же работа внешних сил равна нулю, то кинетическая энергия тела за это время не меняется. Нетривиальный пример - равномерное движение по окружности, совершаемое грузом на нити в горизонтальной плоскости. Сила тяжести, сила реакции опоры и сила натяжения нити всегда перпендикулярны скорости, и работа каждой из этих сил равна нулю в течение любого промежутка времени. Соответственно, кинетическая энергия груза (а значит, и его скорость) остаётся постоянной в процессе движения.

Задача. Автомобиль едет по горизонтальной дороге со скоростью и начинает резко тормозить. Найти путь , пройденный автомобилем до полной остановки, если коэффициент трения шин о дорогу равен .

Решение. Начальная кинетическая энергия автомобиля , конечная кинетическая энергия . Изменение кинетической энергии .

На автомобиль действуют сила тяжести , реакция опоры и сила трения . Сила тяжести и реакция опоры, будучи перпендикулярны перемещению автомобиля, работы не совершают. Работа силы трения:

Из теоремы о кинетической энергии теперь получаем:

Потенциальная энергия тела вблизи поверхности Земли.

Рассмотрим тело массы , находящееся на некоторой высоте над поверхностью Земли. Высоту считаем много меньше земного радиуса. Изменением силы тяжести в процессе перемещения тела пренебрегаем.

Если тело находится на высоте , то потенциальная энергия тела по определению равна:

где - ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли.

Высоту не обязательно отсчитывать от поверхности Земли. Как мы увидим ниже (формулы (3) , (4) ), физическим смыслом обладает не сама по себе потенциальная энергия, но её изменение. А изменение потенциальной энергии не зависит от уровня отсчёта. Выбор нулевого уровня потенциальной энергии в конкретной задаче диктуется исключительно соображениями удобства.

Найдём работу, совершаемую силой тяжести при перемещении тела. Предположим, что тело перемещается по прямой из точки , находящейся на высоте , в точку , находящуюся на высоте (рис. 3 ).

Рис. 3.A=mg(h1-h2)

Угол между силой тяжести и перемещением тела обозначим . Для работы силы тяжести получим:

Но, как видно из рис. 3 , . Поэтому

. (3)

Учитывая, что , имеем также:

. (4)

Можно доказать, что формулы (3) и (4) справедливы для любой траектории, по которой тело перемещается из точки в точку , а не только для прямолинейного отрезка.

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой перемещается тело, и равна разности значений потенциальной энергии в начальной и конечной точках траектории. Иными словами, работа силы тяжести всегда равна изменению потенциальной энергии с противоположным знаком. В частности, работа силы тяжести по любому замкнутому пути равна нулю.

Сила называется консервативной , если при перемещении тела работа этой силы не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела. Сила тяжести, таким образом, является консервативной. Работа консервативной силы по любому замкнутому пути равна нулю. Только в случае консервативной силы возможно ввести такую величину, как потенциальная энергия.

Потенциальна яэнергия деформированной пружины.

Рассмотрим пружину жёсткости . Начальная деформация пружины равна . Предположим,
что пружина деформируется до некоторой конечной величины деформации . Чему равна при этом работа силы упругости пружины?

В данном случае силу на перемещение не умножишь, так как сила упругости меняется в процессе деформации пружины. Для нахождения работы переменной силы требуется интегрирование. Мы не будем приводить здесь вывод, а сразу выпишем конечный результат.

Оказывается, сила упругости пружины также является консервативной. Её работа зависит лишь от величин и и определяется формулой:

Величина

называется потенциальной энергией деформированной пружины (x - величина деформации).

Следовательно,

что полностью аналогично формулам (3) и (4) .

Закон сохранения механической энергии.

Консервативные силы называются так потому, что сохраняют механическую энергию замкнутой системы тел.

Механическая энергия тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий:

Механическая энергия системы тел равна сумме их кинетических энергий и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.

Предположим, что тело совершает движение под действием силы тяжести и/или силы упругости пружины. Будем считать, что трения нет. Пусть в начальном положении кинетическая и потенциальная энергии тела равны и , в конечном положении - и . Работу внешних сил при перемещении тела из начального положения в конечное обозначим .

По теореме о кинетической энергии

Но работа консервативных сил равна разности потенциальных энергий:

Отсюда получаем:

Левая и правая части данного равенства представляют собой механическую энергию тела в начальном и конечном положении:

Следовательно, при движении тела в поле силы тяжести и/или на пружине механическая энергия тела остаётся неизменной при отсутствии трения. Справедливо и более общее утверждение.

Закон сохранения механической энергии . Если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется.

При этих условиях могут происходить лишь превращения энергии: из кинетической в потенциальную и наоборот. Общий запас механической энергии системы остаётся постоянным.

Закон изменения механической энергии.

Если между телами замкнутой системы имеются силы сопротивления (сухое или вязкое трение), то механическая энергия системы будет уменьшаться. Так, автомобиль останавливается в результате торможения, колебания маятника постепенно затухают и т. д. Силы трения неконсервативны: работа силы трения очевидным образом зависит от пути, по которому перемещается тело между данными точками. В частности, работа силы трения по замкнутому пути не равна нулю.

Снова рассмотрим движение тела в поле силы тяжести и/или на пружине. Вдобавок на тело действует сила трения, которая за рассматриваемый промежуток времени совершает отрицательную работу . Работу консервативных сил (тяжести и упругости) по-прежнему обозначаем .

Изменение кинетической энергии тела равно работе всех внешних сил:

Но , следовательно

В левой части стоит величина - изменение механической энергии тела:

Итак,при движении тела в поле силы тяжести и/или на пружине изменение механической энергии тела равно работе силы трения. Так как работа силы трения отрицательна,изменение механической энергии также отрицательно: механическая энергия убывает.
Справедливо и более общее утверждение.

Закон изменения механической энергии. Изменение механической энергии замкнутой системы равно работе сил трения, действующих внутри системы.

Ясно, что закон сохранения механической энергии является частным случаем данного утверждения.

Конечно, убыль механической энергии не противоречит общефизическому закону сохранения энергии. В данном случае механическая энергия превращается в энергию теплового движения частиц вещества и их потенциальную энергию взаимодействия друг с другом, т. е. переходит во внутреннюю энергию тел системы.

Кинœетическая энергия.

Неотъемлемым свойством материи является движение. Различные формы движения материи способны к взаимным превращениям, которые, как установлено, происходят в строго определœенных количественных соотношениях. Единой мерой различных форм движения и типов взаимодействия материальных объектов и является энергия.

Энергия зависит от параметров состояния системы, ᴛ.ᴇ. таких физических величин, которые характеризуют некоторые существенные свойства системы. Энергию, зависящую от двух векторных параметров, характеризующих механическое состояние системы, а именно, радиус-вектора , определяющего положение одного тела относительно другого, и скорости , определяющей быстроту перемещения тела в пространстве, называют механической.

В классической механике представляется возможным разбить механическую энергию на два слагаемых, каждое из которых зависит только от одного параметра:

где - потенциальная энергия, зависящая от относительного расположения взаимодействующих тел; - кинœетическая энергия, зависящая от скорости движения тела в пространстве.

Механическая энергия макроскопических тел может изменяться только за счет работы.

Найдем выражение для кинœетической энергии поступательного движения механической системы. Стоит сказать, что для начала рассмотрим материальную точку массой m . Допустим, что ее скорость в некоторый момент времени t равна . Определим работу результирующей силы , действующей на материальную точку в течение некоторого времени:

Учитывая, что на основе определœения скалярного произведения

где - начальная, а - конечная скорость точки.

Величина

принято называть кинœетической энергией материальной точки.

С помощью этого понятия соотношение (4.12) запишется в виде

Из (4.14) следует, что энергия имеет такую же размерность, как и работа͵ и следовательно, измеряется в тех же единицах.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, работа результирующей всœех сил, действующих на материальную точку, равна приращению кинœетической энергии этой точки. Отметим, что приращение кинœетической энергии может быть положительным или отрицательным в зависимости от знака, совершенной работы (сила может либо ускорять, либо тормозить движение тела). Данное утверждение принято называть теоремой о кинœетической энергии.

Полученный результат без труда обобщается на случай поступательного движения произвольной системы материальных точек. Кинœетической энергией системы принято называть сумма кинœетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит. В результате сложения соотношений (4.13) для каждой материальной точки системы, снова получится формула (4.13), но уже для системы материальных точек:

где m – масса всœей системы.

Отметим, что имеется существенное отличие теоремы о кинœетической энергии (закона об изменении кинœетической энергии) и закона об изменении импульса системы. Как известно, приращение импульса системы определяется только внешними силами. Внутренние силы вследствие равенства действия и противодействия не меняют импульс системы. Не так обстоит дело в случае кинœетической энергии. Работа внутренних сил, вообще говоря, не обращается в нуль. К примеру, при движении двух материальных точек, взаимодействующих между собой силами притяжения, каждая из сил совершит положительную работу, и будет положительной приращение кинœетической энергии всœей системы. Следовательно, приращение кинœетической энергии определяется работой не только внешних, но и внутренних сил.